Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ.
Содержание работы:
1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.
2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.
3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью 
и 
. Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.
Возможно вы искали - Реферат: Імовірнісні методи ощадливого кодування інформації
4. Изменить 
и снова решить задачу. Сделать вывод о точности полученных результатов.
5. Составить отчет о проделанной работе.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание.
1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения
Похожий материал - Дипломная работа: Інструментальна система створення електронних підручників
(1)
на отрезке 
.
2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.
3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.
Решение.
Очень интересно - Курсовая работа: Інтерактивна система навчання для вивчення англійської мови
1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции 
на Рис.1 видно, что функция 
пересекает ось 
в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду 
и построим два графика 
и 
, имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.
 |
???.1
Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке 
, имеет на концах отрезка разные знаки (
), а производная функции не меняет знак на отрезке (
). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.
2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение (1) в виде: 
. Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости на отрезке:
(2)
Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по формуле
Вам будет интересно - Реферат: Інтернет - середовище бізнесу та маркетингу
Заметим, что в точке 
из отрезка , значение 
.
Построим функцию 
. Константа 
выбирается из условия (2). Если производная 
, то значение выбирается из интервала 
, если производная 
, то – из интервала 
. Так как 
всюду положительна на отрезке, то, конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например ), значение 
определяется из интервала 
. Выбрав значение 
, запишем рабочую формулу метода простых итераций:
(3)
Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение 
. Процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: 
и 
. В этом случае значение 
является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке 
.
Похожий материал - Контрольная работа: Інтернет-банкінг та Інтернет-трейдінг
Метод Ньютона. В качестве начального приближения 
здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:
(4)
Заметим, что в точке 
условие (4) не выполняется, а в точке - выполняется. Следовательно в качестве начального приближения выбирается точка 
. Рабочая формула метода Ньютона 
для данной задачи запишется так:
(5)