Цель работы: Изучение особенностей кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара. Получение практических навыков расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара.
Теоретические сведения
Обобщенный ряд Фурье
Обобщенный ряд Фурье сигнала 
в выбранном базисе 
для сигнала с конечной энергией
может быть представлен в виде ряда
Возможно вы искали - Курсовая работа: Представление текстовой и графической информации в электронном виде
,
где 
– коэффициент разложения, определяющий спектр сигнала; 
– система ортонормированных вещественных функций (базис), причем для произвольных функций, ортонормированных на интервале 
, можно записать
Коэффициенты разложения определяются следующим образом
.
Похожий материал - Реферат: Презентации в PоwеrPоint
Для минимизации времени вычислений необходимо выбирать систему базисных функций по возможности более согласованную по форме с исследуемым сигналом. Причем необходимо также учитывать возможность более простой аппаратной или программной реализации базиса. Для импульсных сигналов представляет интерес разложение в базисах функций Хаара, Уолша и др.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Спектральная плотность 
дискретного сигнала 
определяется выражением
, (1.1)
где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции; 
- период дискретизации непрерывной функции x(t).
Согласно выражению (1.1) спектр дискретного сигнала сплошной. Но таковым он бывает только лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. В приложениях выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это означает, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке число гармоник спектра дискретного сигнала.
Очень интересно - Курсовая работа: Преобразование звуковой информации
Каждая спектральная линия состоит из амплитудной и фазовой составляющих. Следовательно, из N данных отсчетов можно получить амплитуды и фазы для N/2 дискретных частот, которые находятся в интервале от 
до 
, где 
- частота дискретизации равная 
.
Соответствующие спектральные линии повторяются в интервале от 
до . В области от до 
можно построить N линий для частот
,
где k = 0, 1, …, N –1. Если в уравнении (1.1) заменить 
на
, то получим уравнение полностью дискретное как по времени, так и по частоте и поэтому удобное для вычислений на ЭВМ.
;
Вам будет интересно - Курсовая работа: Преобразователь кода (ПК)
,
где k = 0, 1, …, N –1.
Выражение для обратного ДПФ следующее:
,
где n = 0, 1, …, N –1.
Похожий материал - Учебное пособие: Препроцессорные средства в C и С++
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Классические формы прямого и обратного ДПФ просты и легко реализуемы на ЭВМ. Однако их практическое применение ограничивается большими объемами вычислений, которые растут в квадратичной зависимости от объема выборки 
. Так, если число отсчетов временной функции 
составляет N, то полный спектр-мерной последовательности дискретных сигналов определяется посредством приблизительно 
комплексных операций умножения и сложения. При достаточно больших может оказаться, что ресурса даже высокопроизводительных ЭВМ недостаточно для вычисления спектра в реальном времени (т.е. в темпе поступления входных данных). Существуют различные способы сокращения объема вычисления при определении дискретно спектра, которые приводят к алгоритмам быстрого преобразования Фурье. Алгоритмы БПФ основаны на устранении избыточности вычислений. Покажем на примере .
Допустим, что нужно рассчитать число А
А = ac + ad + bc + bd