()
Уравнение Шрёдингера для атома водорода приведено к компактному операторному виду, и здесь уже возможно его решение по методу Фурье разделения переменных.
Решения содержат радиальный и угловой сомножители:
8.18. Схема разделения переменных та же, что и в уравнении Лапласа (по правилу «оператор аддитивен - решение мультипликативно». Есть сомножитель радиальный, и есть угловой, и частные решения углового уравнения – сферические функции. Разделим переменные:
Возможно вы искали - Реферат: Введение в теорию многоэлектронного атома. Элементы теории многоэлектронных атомов
Получается система (8.29) из двух дифференциальных уравнений: (8.29.1) - уравнение Лежандра для сферических гармоник (с точностью до постоянной совпадающее с уравнением для квадрата модуля момента импульса !), и (8.29.2) - чисто радиальное:
. (8.29)8.19. Итоги.
8.19.1. Гамильтониан для электрона в водородоподобном ионе (атоме):
(8.30)
Похожий материал - Учебное пособие: Векторная модель многоэлектронного атома
8.19.2. Лапласиан в сферических переменных:
+
. (8.31)
8.19.3. Уравнение Шрёдингера 
с потенциальной функцией V(r) для одноэлектронных состояний:
. (8.32)
Потенциальная функция V (r ) имеет вид:
Очень интересно - Реферат: Вероятности, энтропия и энергия. Канонический ансамбль Гиббса
1) у атома H V(r) = -e2 /r,
2) у водородоподобного иона V (r ) =-Ze2 /r.
Уравнение Шрёдингера в общем виде для водородоподобного иона приобретает вид
. (8.33)
Оно разделяется на систему из трёх дифференциальных уравнений:
Вам будет интересно - Научная работа: Взаимодействие нового полиамфолита на основе этил 3-аминокротоната и акриловой кислоты с ионами
. (8.34)
От потенциала зависит лишь радиальная, но не угловая часть уравнения Шрёдингера.
Система этих уравнений даёт полное описание атомных орбиталей - одноэлектронных волновых функций в простейшем случае – в водородоподобном ионе. Первое уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера для плоского ротатора, оно описывает свойства вращения вокруг аппликаты (мы выполняли преобразования так, что это ось z). Решения этого уравнения нумеруются квантовым числом
. (8.35)
1) Первое уравнение (как и в плоском ротаторе) описывает компоненту момента импульса вдоль оси вращения, определяя проекцию вектора момента с помощью квантового числа m.
Похожий материал - Контрольная работа: Взаимодействие ПАВ с поверхностно-активными полимерами
2) Второе и первое уравнения вместе(до разделения угловых переменных) проистекают из одного общего дифференциального уравнения Лежандра
(8.36)
из которого следует правило квантования модуля момента импульса с помощью числа l :
(8.37)