1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
2. Знакоопределенность квадратичных форм
3. Критерии положительной и отрицательной определенностей
Литература
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
Возможно вы искали - Курсовая работа: Кривые и поверхности второго порядка
Квадратичной формой j (х1 , х2 , …, xn ) n действительных переменных х1 , х2 , …, xn называется сумма вида
,(1)
где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji .
Квадратичная форма называется действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица
Похожий материал - Курсовая работа: Критерии согласия
то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = хТ Ах, где
хТ = (х1 х2 … xn ). (2)
И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.
Очень интересно - Курсовая работа: Критерій Байєса-Лапласа при експоненційно розподілених даних для множини оптимальних рішень
Пример 1.
Записать матрицу квадратичной формы
j (х1 , х2 , x3 ) = 
– 6х1 х2 – 8х1 х3 + 
+ 4х2 х3 – 
и найти ее ранг.
Решение.
Вам будет интересно - Реферат: Лабіринти
Þr(A) = 3 Þ
квадратичная форма невырождена.
2. Знакоопределенность квадратичных форм
Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Похожий материал - Курсовая работа: Логические задачи и методы их решения
Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0).
Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).