1. Метод Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь (випадок дійсних коренів)
1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n≥1)
, (1)
де коефіцієнти a0, a1, … , an – дійсні числа, причому a0≠0.
Возможно вы искали - Курсовая работа: Метод Монте Карло и его применение
В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.
Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.
При цьому кажуть, що корінь ξ рівняння (1) має кратність s, якщо
,
. (символи над P означають похідні)
Похожий материал - Курсовая работа: Метод наближеного обчислення коренів Програма
Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.
Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) – дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо
(α, β – дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число
Очень интересно - Реферат: Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса
також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.
Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:
.
Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад
. (2)
Вам будет интересно - Курсовая работа: Метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов
Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:
(3)
Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.
Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння
x3+px2+qx+r=0
Похожий материал - Контрольная работа: Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом
задовольняють умовам:
Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд
,