Реферат
на т ем у :
"Решение систем дифференциальных уравнений"
1. Дифференциальная линейная алгебра
С собственными значениями и векторами матрицы приходится иметь дело в задачах, связанных с решением систем линейных дифференциальных уравнений и исследованием устойчивости этих решений. Дифференциальная векторно-матричная алгебра включает в себя операции интегрирования и дифференцирования, которые во множестве случаев в своей нотации напоминают соответствующие операции обычного дифференциального исчисления. Производная по скалярной переменной и интеграл от вектора и матрицы в заданных пределах изменения скалярной переменной определены так:
Возможно вы искали - Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
Производные от векторных и векторно-матричных выражений определяются следующими правилами:
,
,
,
,
Похожий материал - Реферат: Решение уравнений в конечных разностях
.
2 . Векторное решение однородного уравнения
Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме:
Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения n -го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой n частных решений с экспоненциальными базовыми функциями:
Очень интересно - Реферат: Решение уравнений с параметрами
,
где 
– константы, определяемые начальными условиями.
Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму
.
Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении 
и 
, подставим частное решение 
в уравнение:
Вам будет интересно - Контрольная работа: Решение экономических задач
Отсюда видно, что 
будет частным решением, если 
будут собственным значением и собственным вектором матрицы A.
Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы 
, k=1,2,…, n, то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде:
.
Похожий материал - Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Используя значение решения при t= 0, находим 
. Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: 
.
Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения:
.
После подстановки X в решение вместо экспоненты получим: