1. Возрастание и убывание функции
Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.
Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.
Теорема 1.1 . Если функция 
, дифференцируемая на интервале 
, монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке 
; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала 
.
Доказательство. Пусть функция монотонно возрастет на , значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого 
выполняется неравенство: 
(рис. 1.1).
Возможно вы искали - Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца 2
Рис. 1.1
Рассмотрим предел 
. Если 
, то 
, если 
, то 
. В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.
Теорема 1.2 . Если функция непрерывна на отрезке 
и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, для любого 
, то данная функция монотонно возрастает на ; если для любого , то данная функция монотонно убывает на .
Доказательство. Возьмем 
и 
, причем 
. По теореме Лагранжа (п. 14.2), 
. Но 
и 
, значит, 
, то есть 
. Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Похожий материал - Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы
2. Экстремумы функции
При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.
Определение 2.1 . Точка 
называется точкой максимума функции , если для любого, сколь угодно малого 
, 
, а точка 
называется точкой минимума, если 
.
Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).
Очень интересно - Дипломная работа: Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Рис. 2.1
Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая на интервале функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума .
Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума 
, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси 
.
Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где .
Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции 
в точке 
производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции 
есть минимум в точке , хотя производная в этой точке не существует.
Вам будет интересно - Контрольная работа: Полурешетки m-степеней
Определение 2.2 . Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции .
Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.
Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция непрерывна на интервале , который содержит ее критическую точку 
, и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума .
Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.
Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:
Похожий материал - Реферат: Понятие случайного процесса в математике
1) находят область определения функции;
2) вычисляют производную 
;
3) находят критические точки;
4) по изменению знака первой производной определяют их характер.