Реферат з курсу “ Введение в численные методы ”
Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ”
Содержание
1. Метод последовательных приближений
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод обращения матрицы
4. Триангуляция матрицы
5. Метод Халецкого
6. Метод квадратного корня
Литература
1. Метод последовательных приближений
Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.
Простая итерация : уравнение 
приводится к виду 
, например, следующим образом:
Возможно вы искали - Реферат: Путешествие по стране чисел
,
где 
и 
содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к 
.
Если выбрать A=H+Q так, чтобы у положительно определенной H легко находилась 
, тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду:
.
В этом случае, при симметричной матрице A и положительно определенной Q итерационный процесс сходится при любом начальном 
.
Похожий материал - Реферат: Пьер де Ферма
Если взять H в виде диагональной матрицы D= 
, в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби .
2. Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:
.
Подстановка в и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре:
Очень интересно - Книга: Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика
.
Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так:
.
Вторая форма требует существенно меньшее число итераций.
3. Метод обращения матрицы
Вам будет интересно - Реферат: Развитие математики
Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде 
, то предположим, что
,
тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим
.
Отсюда можно сделать вывод, что матрицы 
должны последовательно сводить матрицу A к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. 
, то вектор-столбец 
можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу 
в последней i- тый столбец превратился в единичный 
. Для этого берут
Похожий материал - Реферат: Развитие математики в России в середине XVIII века
и тогда 
.
Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми.
Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T -матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части.
4. Триангуляция матрицы