Реферат: Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H₁ , H₂ ,..., H_n , обладающая следующими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =Æ; i, j=1,2,...,n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W=.

Возможно вы искали - Реферат: История космических исследований

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H₁ ,H₂ ,...,H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А ÌW (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H₁ )P(H₁ ) + P(A/ H₂ )P(H₂ ) + ...+ P(A/ H_n )P(H_n ) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события (i = 1,2,...,n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

Похожий материал - Шпаргалка: Программа вступительных экзаменов по математике в 2004г. (МГУ)

P(A) = P() + P() +...+ P(

Если учесть, что по теореме умножения P()= P(A/H_i )P(H_i ) (i=1,2,...,n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H₂ на втором, H₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P(H₁ ) = 3/10, P(H₂ ) = 5/10, P(H₃ ) = 2/10.

Очень интересно - Реферат: Проблемы квантовой хромодинамики

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H₁ ) = 5/10; P(A/H₂ ) = 3/10; P(A/H₃ ) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем

Формула Байеса

Вам будет интересно - Реферат: Элементарные частицы

Пусть H₁ ,H₂ ,...,H_n - полная группа событий и АÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(*)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде

P = P= P(A /H_k ) P(H_k )

Похожий материал - Реферат: Дискретность электромагнитных волн

Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности

P(A)

Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса: