Функції 
і 
можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо 
як функція від 
є вимірною.
Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція 
може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.
Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції і таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації 
: функції і , 
, повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини 
, а множини 
значень припустимих стратегій повинні бути компактними.
На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.
Позначимо через 
простір елементарних подій, що є довільною множиною, а 
– деяка система підмножин множини .
Возможно вы искали - Дипломная работа: Модернизация блока управления аппарата искусственной вентиляции легких Спирон201
Математичним сподіванням випадкової величини 
, заданої на імовірнісному просторі 
, називається число 
, якщо інтеграл з правої частини існує.
Нехай 
і 
– борелівські простори, 
, є 
-алгеброю в . Функція 
називається -вимірною, якщо 
для будь-якої множини 
. Тут 
– борелівська -алгебра простору .
Для функції 
, (
) зовнішній інтеграл за мірою 
визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій 
(
), що мажорують 
, тобто
, 
.
Тут 
– функція розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірнісній мірі .
Похожий материал - Дипломная работа: Модернизация сети телекоммуникаций района АТС-38 г. Алматы
Для довільної функції має місце співвідношення:
,
де 
, 
, і вважають, що 
.
Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції 
і накладати не треба.
Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.
Очень интересно - Дипломная работа: Модернизация системы видеонаблюдения центрального офиса коммерческого банка
Зовнішня міра множини 
визначається співвідношенням 
.
Для будь-якої множини
,
де 
– це індикатор множини 
, що визначається як 
а) якщо 
, то 
;
Вам будет интересно - Реферат: Модернизация системы охранной сигнализации в ООО "Мотексавтозапчасти"
б) якщо 
і 
, то 
;
в) якщо 
або 
, то 
;
г) якщо 
задовольняє рівності 
, то для будь-якої функції має місце рівність 
;
д) якщо 
, то 
для будь-якої функції ;
е) якщо 
і 
, то 
. Якщо при цьому хоча б одна з функцій або 
-вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.
Похожий материал - Дипломная работа: Модернизация сотовой сети стандарта GSM с применением технологий GPRS и EDGE
Позначимо через 
дійсну пряму, а через 
– розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.
Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для , і припустимо, що і 
.
Позначимо через 
множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій 
, де 
– простір станів.
– банахів простір всіх обмежених дійсних функцій з нормою, що визначається за формулою