Пространственное вращение – один из важнейших видов периодического движения в стационарных квантовых системах. Напомним, что в классической механике наиболее рациональное описание такого движения достигается при использовании сферической системы координат, с которой мы и начнём свой анализ.
Сферическая система координат
4.3.1.1. Сферическая система координат хорошо известна из географии и астрономии. Положение частица на сфере в этом случае определяется с помощью широты и долготы, которые задаются посредством двух углов 
и 
, отсчитываемых относительно фиксированных осей, например, декартовых, как это показано на рис. 4.2. Вводя расстояние от центра вращения, переменный радиус r , получаем третью координату, необходимую для описания пространственного вращательного движения
Шаровые координаты:
|
Возможно вы искали - Контрольная работа: Пространство и время. Принципы относительности. Необратимость времени
Декартовы координаты:
(4.28)
Рис. 4.2. Сферическая система координат
При описании переменных данной задачи обязательно следует указать пределы их изменения
или 
Похожий материал - Реферат: Простые механизмы
или 
или 
4.3.1.2. Вычисление элемента объема в сферической системе координат проиллюстрируем рис. 4.2. Величина dV понадобится нам в дальнейших расчётах.
(4.29)
4.3.2. Преобразование оператора Лапласа
Очень интересно - Курсовая работа: Процесс построения опоры для линии электропередачи в условиях ветрености: необходимые качества
4.3.2.1. Лапласиан – основа выражения оператора кинетической энергии 
и, следовательно, гамильтониана 
. Поэтому проследим подробно всю схему его преобразования при замене декартовой системы координат на сферическую. С подобной , но более простой процедурой мы уже имели дело при рассмотрении плоского ротатора.
4.3.2.2. В теории поля лапласиан является скалярным произведением вектор-оператора Гамильтона "набла" самого на себя– скалярным "квадратом" : 
Поэтому вначале преобразуем оператор "набла"
. (4.30)
В соответствии с (4.28) x,y,z выражаются как функции сферических координат
, поэтому производные, составляющие оператор "набла", предстанут в следующем виде
(4.31)
Вам будет интересно - Реферат: Пружні хвилі
4.3.2.3. Наборы частных производных в (4.30) образуют квадратную матрицу коэффициентов, при умножении на которую происходит переход от одного базисного вектор-столбца к другому:
(4.32)
Вычислим все производные, являющиеся элементами квадратной матрицы, дифференцируя выражения (4.28)
или
(4.33)
Похожий материал - Контрольная работа: Прямолинейное движение тел в поле тяжести на машине Атвуда
Напомним, что перемножение матриц подчиняется правилу "строка на столбец". В итоге элементы искомого вектор-столбца предстанут в виде суммы:
(4.34)
(4.35)
(4.36)