Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
Аn + Вn = Сn * /1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:
Возможно вы искали - Статья: Доказательство великой теоремы Ферма
Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1 -An-2 ·B +An-3 ·B2 - …-A·Bn-2 +Bn-1 ] /2/
Полагаем, что Aи B – целые положительные числа.
Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел Aи Bмножитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.
* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.
Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:
Похожий материал - Статья: Доказательство великой теоремы Ферма 5
А1 + В1 = С1
А + В= С/3/
Следовательно, число (А + В) является делителем числа С.
Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:
Сn = An + Bn =(A+B)n ∙ Dn , /4/
Очень интересно - Доклад: Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
где число Dтакже должно быть целым числом.
Из уравнения /4/ следует:
/5/
Из уравнения /4/ также следует, что число [Cn =An + Bn ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:
An + Bn < (A+B)n /6/
Вам будет интересно - Курсовая работа: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Следовательно:
- дробное число, меньшее единицы. /7/
- дробное число.
Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени nуравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Похожий материал - Контрольная работа: Методы решения уравнений линейной регрессии
Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2q , является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:
n= pkm = 2q ∙km, /8/
где: p=2q ;
q =1, 2, 3,…;