1. Биматричные игры
Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.
Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта – игроки, действие игрока – ход, совокупность ходов – стратегия, результат игры – выигрыш.
Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.
К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.
Возможно вы искали - Контрольная работа: Линейные уравнения парной и множественной регрессии
Игры с фиксированной суммы – игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:
игрок А – может выбрать любую из стратегий А1 , …, Аm ;
игрок В – любую из стратегий В1 , …, Вn ;
Похожий материал - Контрольная работа: Математические методы и модели в экономике
Если игрок А выбрал стратегию Аi , игрок В – Вj , то в итоге выигрыш игрока А составит аij , игрока В – bij . Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.
А=
В=
Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм – биматричным.
2. Состояние равновесия в биматричных матрицах
Очень интересно - Курсовая работа: Определение координат оптимального расположения двух складов в регионе
Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов – желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.
Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый – поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй – поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.
Остановим своё внимание на первом подходе.
В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.
Пусть игрок А выбирает стратегию А1 , с вероятностью р1 , А2 – р2 , …, Аm – pm , причём
Вам будет интересно - Контрольная работа: Теорія економічного аналізу
Игрок В использует стратегию В1 с вероятностью q1 , B2 – q2 , …, Bn – qn , причём
В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:
Похожий материал - Лабораторная работа: Теорія Маршала як внесок у розвиток світової економіки
Таким образом, можно сформулировать основное определение:
Распределение вероятностей Р* (
) и Q (
) определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:
