Министерство науки и образования Украины

Сумской государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра информатики

“Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений”

Сумы 2006

Содержание

Постановка задачи

Возможно вы искали - Учебное пособие: Традиционные методы вычислительной томографии

1. Введение

2. Точные методы решения СЛАУ

3. Практическая реализация метода Халецкого

3.1 Программа на языке Pascal

3.2 Решение в Excel

Похожий материал - Курсовая работа: Транспортная задача линейного программирования

Заключение

Литература

Приложение

Постановка задачи

Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя точный метод численного решения (схему Халецкого).

1. Введение

Очень интересно - Курсовая работа: Трансформация преобразований

Существует несколько способов решения таких систем, которые в основном делятся на два типа: 1) точные методы , представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, 2) итерационные методы , позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов.

Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньший числа неизвестных, то система имеет бесконечно решений.

Пример системы линейных уравнений:

Или в матричном виде: ,

Вам будет интересно - Сочинение: Три задачи по теории чисел

где матрица коэффициентов системы;

- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

2. Точные методы решения СЛАУ

Метод главных элементов.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов системы a[i,j] и свободных членов b[i]. Метод главных элементов - это обобщение метода исключения переменных (метода Гаусса). Обозначим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов исходной системы за M.

Выбираем наибольший по модулю элемент, не принадлежащий столбцу свободных членов. Пусть это будет . Этот элемент называется главным элементом, а строка, в которой он находится, называется главной строкой.

Похожий материал - Курсовая работа: Тригонометрические уравнения и неравенства

Вычисляются множители:

Далее производим следующие преобразования: к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель для этой строки. В результате мы получим матрицу, у которой q-й столбец состоит из нулей. Отбросим этот столбец и главную p-ю строку, получим новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над матрицей повторяем те же операции, после чего получаем матрицу и т.д. Таким образом, мы построим последовательность матриц