Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n .
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x = a
- b , y =2 ab , z = a + b .
Другие формулы: x = 
+ b , y = + a , z = + a + b (1).
В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a =2 c
, b = d , откуда =2 cd .
Возможно вы искали - Контрольная работа: Экстремумы функции
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),
где c и d любые целые положительные числа; c ,d и их суммы взаимно просты;
X , Y , Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d , то определены и целы все три числа X , Y , Z .
Предположим, что уравнение Ферма x 
+ y = z имеет тройку целых положительных решений x , y , z при нечётном целом положительном значении показателя n , n >2 . Запишем это уравнение следующим образом:
Похожий материал - Реферат: Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
( x
) + ( y ) = ( z ) (4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x = X ; y = Y ; z = Z ; где X , Y , Z из (2) (5).
Чтобы числа x , y , z были целыми, из всех трёх чисел X , Y , Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x =
= ( 
); y =
= ( 
) ; z =
.
Очень интересно - Дипломная работа: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n – нечётное ):
= 
= 
и = 
= 
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n :
d = g
; 2 c = h , следовательно, = 
; = 
.
Так как x , – целые, x – по условию, а – из-за нечётн. n , то g + h = k , где k – целое.
Вам будет интересно - Контрольная работа: Элементы алгебры и геометрии
Тройка решений g , h , k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g , h , k меньше , так как =g
, а < x , так как x =( ) . Число k заведомо меньше числа z .
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g , h , k , начиная с (4):
( g ) + ( h ) = ( k ) ; g ==( 
); h ==( 
); k =.
= = и = = .
d = p ; 2 c = q , следовательно, = 
; = 
.
Похожий материал - Реферат: Эрмитовы операторы
p + q = r , где r – целое число. Все три числа p , q , r меньше числа из второй тройки решений и r < k . Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до 
.
При данных конечных целых положительных числах x , y , z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n ( n >2) не существует.
Для чётных n =2 m не кратных 4 : (x )
+(y )=(z ), m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m , то их нет и для 2 m (это показал Эйлер). Для n =4 и n =4 k ( k =1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов