Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .
Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .
Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :
Возможно вы искали - Дипломная работа: Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции)
(1.1)
тогда как :
А = 
(1.2)
где А заданная матрица размером N x N .
- вектор с N координатами , который подлежит определению ;
Похожий материал - Доклад: Солнечное и лунное затмение
N – произвольное целое число ;
заданные вектора правых частей с N координатами .
С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
2.1. Метод прогноза и коррекции
Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .
Очень интересно - Реферат: Интегральное исчисление. Исторический очерк
Рассмотрим задачу Коши :
, 
(2.1.1)
Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке 
, тогда получим :
(2.1.2)
где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что 
- приближения к решению в точках 
. Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,
Вам будет интересно - Реферат: Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка
( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу :
(2.1.3)
В простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :
(2.1.4)
Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки
Похожий материал - Доклад: Галактики: цепочки и пустоты
(xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е.
(2.1.5)
интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод :
(2.1.6)