1. Теорема Чебышева
Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Если явление носит единичный характер, то теория вероятностей не может предсказать исход события.
Иное дело, когда явление – массовое. Закономерности проявляются именно при большом числе случайных событий, происходящих в однородных условиях.
При большом числе испытаний характеристики случайных событий и случайных величин практически мало изменяются, т.е. становятся неслучайными. Это обстоятельство позволяет использовать результаты наблюдений над случайными явлениями для предсказания результатов будущих испытаний.
В дальнейшем мы ознакомимся с двумя типами предельных теорем: законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел играет очень важную роль в практическом применении теории вероятностей к явлениям природы и техническим процессам, связанных с массовым производством.
Возможно вы искали - Курсовая работа: Применение методов моделирования к электротехническим задачам
Для доказательства этих теорем воспользуемся неравенством Чебышева.
Пусть mx и Dx – математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х.
Тогда неравенство Чебышева гласит: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа 
, ограничена величиной 
, т.е.
Доказательство. Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей f(x). По определению
Похожий материал - Курсовая работа: Статистика національного доходу
(1)
Выделим на числовой оси интервал АВ, состоящий из точек 
А В
х
Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок АВ, мы значение интеграла не увеличим, т.е.
Очень интересно - Курсовая работа: Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами
Так как теперь 
, то
Отсюда непосредственно и вытекает неравенство Чебышева.
Если Х – дискретная случайная величина, то доказательство неравенства Чебышева проводится по проделанной выше схеме с той лишь разницей, что вместо интеграла нужно записать сумму.
Вам будет интересно - Курсовая работа: Нахождение минимальных затрат при распределении товаров среди магазинов методами решения транспо
Так как
,
то неравенство Чебышева можно записать в другом виде
Если взять 
, то получим, что неравенство Чебышева дает оценку
Похожий материал - Статья: Современные представления о строении Солнечной системы
,
что заведомо выполняется, т.к. вероятность 
С другой стороны, если взять 
, то
,