Курсовая работа: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння

Введення

У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.

Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.

1. Гіпергеометричне рівняння

1.1 Визначення гіпергеометричного ряду

Возможно вы искали - Курсовая работа: Единое пересечение кривых в пространстве

Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду

де z – комплексна змінна, , , - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ позначає величину

==1

Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи

Похожий материал - Курсовая работа: Деякі скінченно-різнецеві методи розвязування звичайних диференціальних рівнянь

z^k

маємо

= ,

коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.

Сума ряду

Очень интересно - Реферат: Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів

F( , , ,z) = , <1 (1.1)

називається гіпергеометричною функцією.

Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.