Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо (т.е. на каких-либо поверхностях) требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала. Теорема Гаусса дает преимущество, если в задаче заданы только заряды. Если потенциал уже задан формулой, то 
, а далее просто используется уравнение Максвелла для нахождения заряда.
Задача. φ(r) = ar3+b внутри шара радиуса R проницаемости ε. Найти ρ, ρ ', σ '.
Решение: Поле направлено радиально от центра шара; внутри оно равно
|
|
а вне шара не потребуется для решения. (Но, в принципе, его можно найти как Er = Q/(4πε0r2) после нахождения ρ и полного заряда 
). Плотность заряда ρ получаем из уравнения Максвелла:
|
Возможно вы искали - Статья: Тайны межзвездных облаков ρ(r) |
= |
| |
|
= |
|
Похожий материал - Статья: Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
Для нахождения ρ ' и σ ' потребуется поляризованность внутри шара:
|
Pr = ε0(ε–1)Er = –3aε0(ε–1)r2 |
Связанные заряды равны:
|
|
|
σ '|r = R = Pr|r = R– = –3aε0(ε–1)r2 |
Очень интересно - Реферат: Двойное векторное произведение
Задача. Пластина толщины 2a проницаемости ε заряжена как ρ = α x2. Положив φ|x = 0 = 0, написать φ(x), найти ρ ' и σ '.
Решение: Хотя использование уравнения Пуассона при решении данной задачи вполне возможно, более удобным представляется применение теоремы Гаусса к цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x. Таким способом аналогичная задача рассматривалась ранее для случая ε = 1. Изменения требуются в момент перехода от Dx к Ex в области –a<x<a:
|
|
Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу
|
|
Вам будет интересно - Курсовая работа: Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі
верную для любого x (и больше, и меньше нуля). Соответственно, для каждого из трех участков, на которых найдено Ex, получаем:
|
φ(x) |
= |
| |
|
= |
Похожий материал - Реферат: Застосування частинних похідних
| ||
|
= |
|
Для вычисления плотностей связанного заряда нам не нужен потенциал, но требуется поляризованность внутри пластины (вне она, естественно, равна нулю):
|
|