Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть 
- кольцо с единицей 1. Элемент 
из множества 
называется обратным в кольце 
, если 
. 
называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо 
, элемент 2 необратим в этом кольце, так как 
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел. 
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Возможно вы искали - Статья: Школьный учебник математики: вчера, сегодня, завтра
Рассмотрим кольцо рациональных чисел 
, обратимыми являются все элементы кроме 
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо 
, обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция 
коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица 
.
Похожий материал - Реферат: Актуальные проблемы квантовой механики
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Очень интересно - Статья: Время и пространство - идеалистические понятия
Поле Галуа 
- галуафилд. 
; 
. Определим
операции сложения и умножения:
И 
- бинарные операции, 
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция 
- коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. 
, 
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Вам будет интересно - Реферат: Коагуляция
Пусть - поле. Обозначение: 
.
Если 
, то 
.
Доказательство. Пусть , докажем, что 
, то есть 
, тогда 
противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | 
, 
.
Если 
, 
. 
умножим равенство справа на 
, то есть 
.
.
Похожий материал - Реферат: Математическая модель распределения информации
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства 
на слева, 
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: 
, 
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.