Гімназія №2
Кафедра природничо-математичних наук
Диференціальні рівняння
Курсова робота
учня 11-Б класу
Біленка Анатолія
Керівник роботи
Б.Ю. Гаузнер
2001 рік
План
| 1. Вступ | |
| 1. | Поява диференціальних рівнянь |
| 2. | Історична довідка |
| 2. Основна частина | |
| І | Рівняння показового росту |
| 1. | Швидкість прямолінійного руху |
| 2. | Радіоактивний розпад |
| 3. | Поглинання світла |
| 4. | Концентрація розчину |
| ІІ | Лінійне диференціальне рівняння першого порядку |
| 1. | Охолодження тіла |
| 2. | Найпростіші електричні ланцюги |
| 3. | Падіння тіл |
| ІІІ | Гармонічні коливання (незатухаючі) |
| 3. Висновки | |
| 4. Список використаної літератури | |
Возможно вы искали - Реферат: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа
1. Вступ.
1. Поява диференціальних рівнянь.
Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.
Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння
y ''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.
Похожий материал - Реферат: Аналітична геометрія
Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.
Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням. Наприклад, функція у = e x є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (є x )' = e x .
Функція у =cosx є розв'язком диференціального рівняння у" + у == 0.
Справді, для функції у =cosx , маємо:
у" = -cosx . Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cosx + cosx = 0.
Очень интересно - Дипломная работа: Графічні методи розвязування задач із параметрами
Аналогічно можна переконатися, що функція у =A sinx +В cosx , де А і В — довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.
Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих.
Задача. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2) , якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4 x 3 .
Розв‘язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F , похідною якої є функція f ( x ) = 4 x 3 , тобто треба знайти первісну функції y =4 x 3 . Крім того , відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2) .
Множина первісних всіх функцій для функції y =4 x 3 має вигляд F ( x ) = x 4 +С, де С – довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2) , враховується, що коли x =1 , значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F ( x ) = x 4 +С замість x число1, а замість F ( x ) – число 2, дістанемо 2 = 1 + С , звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F ( x ) = x 4 +1 – шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2) .
Вам будет интересно - Дипломная работа: Теореми Чеви і Менелая та їх застосування
Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі .
Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.
Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.
Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sinx +В cos x є загальним, а розв'язок у =cosx - окремим.
На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.
Похожий материал - Контрольная работа: Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань
Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається, задачею Коші.
Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння
уy '+2х=0. (1)
яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді