П лан
- Вступні відомості про диференціальні рівняння
- Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь
- Диференціальні рівняння першого порядку
- Задача Коші
- Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку
12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння
Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Отже, загальний вигляд диференціального рівняння -го порядку такий:
.
Возможно вы искали - Реферат: Основні шляхи забезпечення безпеки інформації
Найпростіші диференціальні рівняння вже розглядалися при вивченні інтегрального числення. Справді, нехай дано функцію . Знайдемо її визначений інтеграл. Маємо: і, отже, .
Інтегруючи, отримаємо:
,
де – довільна стала.
Виявляється, що будь-яке диференціальне рівняння також має безліч розв’язків виду , де – довільна стала
Похожий материал - Курсовая работа: Захист програмного забезпечення
Розглянемо приклади.
Задача 1 . Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена від точки дотику та від початку координат.
Зробимо схематичний рисунок (рис.12.1). Нехай т. - це точка в якій проводимо дотичну. - точка перетину дотичної з віссю . За умовою відстані та рівні, тобто .
Тоді
Очень интересно - Реферат: Розробка та відлагодження програмного забезпечення віртуальної лабораторії на базі програмно-відладочного
Піднесемо до квадрату обидві частини рівності та спростимо отриманий вираз
Запишемо рівняння дотичної:
де - координати точки дотику.
Рис.12.1
Вам будет интересно - Курсовая работа: База даних фільмотеки розробка проекту
Точки і належать дотичній, причому т. - це точка дотику. Якщо т. належить дотичній, то її координати мають задовольняти рівняння дотичної. Підставимо координати точок та в рівняння дотичної:
Звідси виразимо :
Тоді
Похожий материал - Реферат: Концепция формирования информационного общества в России 2
Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку
Всяка функція вигляду задовольняє даному диференціальному рівнянню, тобто є його розв’язком при довільному значенні