П лан
- Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
- Подвійний інтеграл в полярних координатах
Обчислення подвійного інтеграла
При одержимо подвійний інтеграл
.
1. Обчислення подвійного інтеграла
Возможно вы искали - Реферат: Методи і засоби навчання
в декартових координатах
Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу
, (11.16)
Рис.11.4 Рис.11.5
де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.
Похожий материал - Реферат: Социальная защита населения от медикаментозной агрессии
Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .
На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині
Точками і границя розбивається на дві лінії: і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:
: , : .
Так само точками і межа області розбивається на лінії і , рівняння яких:
Очень интересно - Реферат: Основные принципы прменения лазерной и магнитно-лазерной терапии при термических ожогах
.
Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої в область , а точка - точкою виходу із області. Із рівняння ліній і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють і . Отже, інтеграл
дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:
. (11.17)
Вам будет интересно - Курсовая работа: История болезни, селикоз. Вибрационная болезнь
Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від , якщо .
Рис.11.6
Замінюючи у формулі (11.16) її виразом (11.17), дістаємо
або в зручнішій формі
Похожий материал - Реферат: Синдром диссеминированного внутрисосудистого свертывания
. (11.18)
Міняючи і місцями, можна вивести й формулу:
. (11.19)
З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами: