Введение. 3

1. Теоретическая часть. 4

1.1 История возникновения теории графов. 4

1.2 Основные понятия теории графов. 6

1.3 Основные теоремы теории графов. 9

Возможно вы искали - Реферат: Киш, Эгон Эрвин

1.4 Способы представления графов в компьютере. 14

1.4.1 Требования к представлению графов. 14

1.4.2 Матрица смежности. 14

1.4.3 Матрица инциденций. 15

1.4.4 Списки смежности. 15

Похожий материал - Реферат: Реальные обороты капитала и формы и накопления капитала на промышленном предприятии

1.4.5 Массив дуг. 15

1.5 Обзор задач теории графов. 16

Заключение. 17

2. Практическая часть. 18

2.1. Общая характеристика задачи. 18

Очень интересно - Контрольная работа: Инвестиционная деятельность и формирование капитала предприятия

2.2. Описание алгоритма решения задачи. 19

Список использованной литературы.. 24

Введение

Если вы любите решать олимпиадные задачи, то, наверное, не раз составляли таблицы, изображали объекты точками, соединяли их отрезками или стрелками, подмечали закономерности у полученных рисунков, выполняли над точками и отрезками операции, не похожие на арифметические, алгебраические или на преобразования в геометрии. То есть вам приходилось строить математический аппарат специально для решения задачи. А это означает, что вы открывали для себя начала теории графов. Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с лишним лет назад именно в ходе решения головоломок. Очень долго она находилась в стороне от главных направлений исследований ученых, была в царстве математики на положении Золушки, чьи дарования раскрылись в полной мере лишь тогда, когда она оказалась в центре общего внимания.

1. Теоретическая часть

1.1 История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783) [3, стр. 36]. Однако теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

1. Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

Вам будет интересно - Реферат: Сегментация инвестиционных рынков

Рисунок 1

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году [2, стр. 51].

Рисунок 2

3. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

Рисунок 3

1.2 Основные понятия теории графов

1) Графом G ( V , E ) называется совокупность двух множеств – непустого множества V(множества вершин) и множества E двухэлементных подмножеств множества V(E – множество ребер).

Похожий материал - Реферат: Общая структура рынка труда. Сегментация и гибкость рынка труда

2) Ориентированным называется граф, в котором - множество упорядоченных пар вершин вида (x,y), где x называется началом, а y – концом дуги. Дугу (x, y) часто записывают как . Говорят также, что дуга ведет от вершины x к вершине y, а вершина yсмежная с вершиной x.

3) Если элементом множества E может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества E называется петлей , а граф называется графом с петлями (или псевдографом ).

4) Если E является не множеством, а набором , содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами , а граф называется мультиграфом .

5) Если элементами множества E являются не обязательно двухэлементные, алюбые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гипердугами , а граф называется гиперграфом .