Введение
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница
Свойства определенного интеграла
Возможно вы искали - Курсовая работа: Программа вычисления значения определённого интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Механический смысл определенного интеграла
Необходимое условие интегрируемости
Список использованной литературы
Введение
Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.
Похожий материал - Контрольная работа: Способы описания алгоритма Виды операторов
Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача о пройденном пути.
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = α до t = β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.
Поступим следующим образом.
1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов
Очень интересно - Реферат: Кривая Лоренца индекс Джини
t0 = α < t1 < t2 < … < ti -1 < ti < … tn -1 < tn = β,
где ti – ti -1 = Δti . На произвольном участке [ti -1 , ti ] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(τi ), ti -1 ≤ τi ≤ ti . Тогда за время Δti пройденный путь приближенно равен si = v(τi )Δti . Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:
Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.
Вам будет интересно - Сочинение: Счастье в понимании Некрасова и моем.
3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим λ = Δti , тогда
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.
Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:
Похожий материал - Книга: Кваліфікація злочинів проти власності (Ємельянов)
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS .
Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).
Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0 <x1 <…<xn = b на n частичных отрезков и положим: Δxi = xi – xi -1 , i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через λ = maxΔxi . Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(τi )), что дает приближенное выражение для работы