ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Означення : Функція F ( x ) називається первісною для функції f ( x ) на проміжку І , якщо на цьому проміжку F '( x ) = f ( x ) або dF ( x ) = f ( x ) dx .
Із означення виходить, що первісна F ( x ) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І , і її вигляд суттєво залежить від проміжка, на якому вона розглядається.
Приклад : Первісні для функції мають вигляд:
Возможно вы искали - Реферат: Психічні і моральні якості медичного працівника
причому, F 1 ( x ), F 2 ( x ) — неперервні R, aF 3 ( x ) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі первісні Fi ( x ) і = 1,2,3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, використовуючи таблицю похідних функцій.
Теорема (про множину первісних). Якщо F ( x ) — первісна для функції f ( х) на проміжку I , то
1) F ( x ) + C — також первісна для f ( x ) на проміжку I ;
2) будь-яка первісна Ф(х) дляf ( x ) може бути представлена у вигляді Ф(х) = F ( x ) + С на проміжку I . (Тут С = const називається довільною сталою).
Похожий материал - Реферат: Тактика медичного працівника в клініці внутрішніх хвороб та в умовах амбулаторного прийому
Наслідок . Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку I відрізняються між собою на сталу величину (рис. 7.1).
Означення : Операція знаходження первісних для функції f ( x ) називається інтегруванням f ( x ) .
Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція немає первісних на цьому проміжку.
Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F ( x ) , тоді (за теоремою про множину первісних) F ( x ) + С — загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.
Означення : Функція F ( x ) + С , що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f (х) на проміжку I , називається невизначеним інтегралом від функції f ( x ) на проміжку I і позначається
(7.1)
Очень интересно - Реферат: Воля та вольові акти людини
де — знак невизначеного інтеграла;
f ( x ) — підінтегральна функція;
f ( x ) dx — підінтегральний вираз;
dx — диференціал змінної інтегрування.
Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає у тому, що функція у= F ( X ) + С є рівняння однопараметричної сім'ї кривих, які одержуються одна з другої шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат (рис. 7.2).
Вам будет интересно - Реферат: Гігієна праці медичних працівників
Теорема (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f ( x ) на певному проміжку достатньо, рис. 7.2 щоб f ( x ) була неперервною на цьому проміжку.
Зауваження . Виявляється є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:
існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегровними».
a) Властивості, що випливають із означення (7.1):
І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
Похожий материал - Реферат: Спостереження і догляд за хворими з патологією органів дихання
II. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
ІІІ.
б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.
IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто