1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.
2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.
3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.
4. Примеры………………………………………………………..7стр.
5. Заключение……………………………………………………..9стр.
Возможно вы искали - Реферат: Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
6. Список литературы…………………………………………...10стр.
Постановка задачи .
Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл 
при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале ( a , b ) . Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x) ,осью x и прямыми x= a , x= b . Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.
Вывод формулы прямоугольников.
Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:
З а м е ч а н и е . Пусть функция f ( x ) непрерывна на сегменте [ a , b ] , а
- некоторые точки сегмента [ a , b ] . Тогда на этом сегменте найдётся точка 
такая, что среднее арифметическое 
.
Похожий материал - Реферат: Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования
В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f ( x ) на сегменте [ a , b ]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства 
. Просуммировав эти неравенства по всем номерам 
и поделив результат на n , получим
Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M , то на сегменте [a, b] найдётся точка такая, что
.
Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл 
как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой 
, мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.
Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины 
, а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле
(1)
где 
, а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников .
Очень интересно - Реферат: Вычислительные методы алгебры (лекции)
(рис.1)
На практике обычно берут 
; если соответствующую среднюю ординату 
обозначить через 
, то формула перепишется в виде
.
Дополнительный член в формуле прямоугольников.
Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.
Вам будет интересно - Реферат: Вычислительный эксперимент
Справедливо следующее утверждение:
У т в е р ж д е н и е . Если функция f ( x ) имеет на сегменте [ a , b ] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка
, что дополнительный член R в формуле (1) равен
(2)
Доказательство .
Оценим 
, считая, что функция f(x) имеет на сегменте [- h , h ] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:
Для первого из этих интегралов получим
Похожий материал - Реферат: Гамма функции
Для второго из интегралов аналогично получим
Полусумма полученных для 
и 
выражений приводит к следующей формуле:
(3)
Оценим величину 
, применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций 
и 
. Мы получим, что найдутся точка 
на сегменте [- h , 0] и точка 
на сегменте
[0 , h ] такие, что