Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.
Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые определения и понятия. Под материальной точкой понимают точку, снабжённую массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжёлого шарика, размерами которого можно пренебречь. В связи с этим будем часто указывать только числовое значение той или иной физической величины, но не будем отмечать её наименование, считая, что оно само собой подразумевается. Например, выражение: “В D ABC сторона BC равна a , а в вершине A мы помещаем массу a ” означает: “Длина стороны BC равна a ñàíòèìåòðàì, à ìàññà, ïîìåù¸ííàя в вершине A , равна a грамм”.
Если в точке A помещена массаm , то образующуюся материальную точку будем обозначать так: (A, m) . Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем её обозначать одной буквой A . Массу m иногда называют “нагрузкой точки A ” .
Центром тяжести двух материальных точек ( A, a) и(B, b) называется такая третья точка C , которая лежит на отрезке AB и удовлетворяет “правилу рычага” : произведение её расстояния CA от точки А на массу а равно произведению её расстоянию СВ от точки В на массу b ; таким образом,
.
Это равенство можно записать и так:
,
Возможно вы искали - Шпаргалка: Билеты по геометрии
то есть расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой. Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.
Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жёсткий “невесомый” стержень АВ , в концах которого помещены массы а и b (рис. 1). “Невесомость” стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек ( A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB , чтобы он был в равновесии.
|
рис. 2 |
А 5 С 15B Для дальнейшего полезно также ввести понятие “объединение” или равнодействующей двух материальных точек. Под этим мы будем понимать материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.
|
Похожий материал - Реферат: Геометрия Лобачевского D рис. 1 |
A C B
Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB (рис. 2), длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед., в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек ( A, 6) и ( B, 2) будет точка C , лежащая на стержне AB , определяемая условием: 6 CA=2CB , или CB=3CA . Поэтому АВ= CB+CA=4AC . Отсюда 
(ед.). Объединение материальных точек ( A, 6) и (B,2) будет материальная точка (С, 8) .
Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвёртой материальной точки и третей из данных материальных точек.
Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2 находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n -й материальной точкой.
Если поместить в центре тяжести несколько материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовём объединением данных материальных точек.
Очень интересно - Реферат: Геометрия Лобачевского
Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.
I. Положение центра тяжести n материальных точек не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки. (Теорема о единственности центра тяжести для системы из n материальных точек.)
II. Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением. (Теорема о возможности группировки материальных точек.)
При рассмотрении некоторых вопросов механики оказывается выгодным ввести понятие статического момента.
Пусть имеется некоторая точка C и, кроме того, материальная точка A º ( A, m) . Статическим моментом материальной точки А относительно точки С мы назовём произведение m × CA и будем его кратко обозначать так: МомС А .
Вам будет интересно - Реферат: Геометрия в пространстве
Пользуясь понятием статического момента, определение центра тяжести можно сформулировать так: точка С называется центром тяжести двух материальных точек A º ( A, m 1 ) и B º ( B, m2 ) , если С лежит на отрезке АВ и МомС А =МомС B.
Пусть теперь на некотором луче с началом S (рис. 3) расположена система из некоторых n материальных точек
A 1 º ( A 1 , m 1 ) , A 2 º ( A 2 , m 2 ) , …, An º ( A n , m n ) .
|
рис. 3 |
S A4 A3 A2 A1 An Статическим моментом этой системы относительно начала луча S называют сумму моментов всех точек системы относительно начала луча,
т.е. сумму K= МомS A1 + МомS A2 + МомS A3 +…+ МомS An или, подробнее,
K=m1 × SA1 + m2 × SA2 + m3 × SA3 +…+ mn × San .
Похожий материал - Реферат: Геометрия чисел
Пример. Если система состоит из трёх точек ( A1 , 1), (A2 , 4), (A3 , 9) и SA1 =1, SA2 =2, SA3 =3 (рис. 4), то статический момент системы равен
K=1 × 1 + 4 × 2 + 9 × 3 = 36.
Понятно, что в системе SGC момент будет иметь размерность г × см. Но мы ранее договорились, что размерность будем каждый раз подразумевать, но нигде не указывать.
|
S A 1 А 2 A3
рис. 4 |
