с эллиптическим отверстием
Оглавление
1. Общетеоретическая часть
2. Прикладная часть
2.1 Физическая постановка задачи
2.2 Упругие свойства материала
Возможно вы искали - Реферат: Задача остовных деревьев в k–связном графе
2.3 Математическая постановка задачи
2.4 Аналитическое решение
2.5 Иллюстрация распределения напряжений
Используемая литература.
Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )
Похожий материал - Реферат: Задачи Лоповок
Приложение 2. (График распределения напряжений).
1. Общетеоретическая часть
 |  |
?????????? ??????????? ????????? ? ????????? ?????????? ? ??????. ????? ????????? ?????? ?? ?????? ?????????, ? ??? ?1 , ?2 ???????? ?? ??????? ???????????? ?????????. ?? ????????? ????????? ????????? ?????????????? ???????? p1 , p2 ????? ??????????????? ????.
Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
(1)
Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:
(2)
В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений 
. Но в уравнения равновесия (2) не входит 
, тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1 (x1 ,x2 ) и f2 (x1 ,x2 ) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1 ,x2 ) для которой выполняются условия:
(3)
Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:
(4)
Очень интересно - Реферат: Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Введем также еще две функции F(x1 ,x2 ) и y(x1 ,x2 ), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом:
Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1 ,x2 ) и y(x1 ,x2 ), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец:
Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:
а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:
(5)
Вам будет интересно - Реферат: Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности
где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn .
Обозначим 
как неизвестную функцию D(x1 ,x2 ), тогда из закона Гука следует, что:
а выражение для 
будет равно:
Теперь введем приведенные коэффициенты деформации
, для которых имеет место выражение:
, где i,j=1..6 (6)
Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:
Похожий материал - Реферат: Золотое сечение
Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
(7)
Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины 
- константы, величины 
и D зависят от двух координат x1 и x2 , а перемещения ui - функции трех координат.
Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:
(8)
Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:
(9)