Как сделать из точек числа?
Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштаб с направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым превратить каждую точку в действительное число – ее координату.
С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждой точки плоскости сопоставляем ее координаты (x ; y ). Эта пара будет называться дуплетом . Чтобы сделать дуплет числом, нужно научиться “складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения и умножения.
Дуплеты складываются как векторы – покоординатно:
(x; y) + (x’; y’) = (x + x’; y + y’) . (1)
Для умножения существует иная формула:
(x; y) (x’; y’) = (xx’ - yy’; xy’ + x’y). (2)
Возможно вы искали - Реферат: Кластерный анализ
Умножение и сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам сложения и умножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1), (2) можно считать полноценным числовым множеством.
На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так: x + yi , где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен . Это позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Но встает проблема превращения точек пространства в числа. Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трех координат (x; y; z ). Эти так называемые триплеты тоже складываются покоординатно:
(x; y; z) + (x’; y’; z’) = (x + x’; y + y’; z + z’). (3)
Триплеты можно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая, вместе со свойствами сложения, обычными способами умножения этих операций.
В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р. Гамильтон (1805 – 1865). О нем мы расскажем особо.
Похожий материал - Реферат: Комбинаторика
Уильям Роуан Гамильтон
Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил звание королевского астронома Ирландии.
К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.
В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать правило умножения триплетов.
Векторное произведение
Очень интересно - Реферат: Комбинаторика
Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по формуле (3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но Гамильтон безуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов.
В то время было известно правило векторного произведения:
векторным произведением ненулевых векторов называется вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы имеющий направление, определяемое правилом “правой руки”, и длину êê êê. Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной системе координат:
то (4)
Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если то угол () между векторами равен нулю. Значит, длина векторного произведения равна нулю, т.е. и сам вектор нулевой.
Вам будет интересно - Реферат: Комбинаторные методы правовой информатики
Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед собой задачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже). Но труд не пропал даром. В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или кватернионы. Вот история их создания.
Случай на Брогемском мосту
В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k,
,
содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.
Похожий материал - Реферат: Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы
Определение кватернионов
Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v) , которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk , где i, j, k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям:
(5)
(6)
которые удобно записать в виде “таблицы умножения”.
x i j k