Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание . Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин 
, которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если 
— одно из возможных значений системы , то событию 
соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция 
, определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из 
. В частности, совместный закон распределения случайных величин 
и 
, которые принимают значения из множества 
и 
, задается вероятностями 
. Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. 
.
Доказательство . Постоянную 
можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. 
.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 
.
Доказательство. Пусть случайная величина 
задана законом распределения вероятностей:
 |  |  | . . . |  | . . . |
 |  |  | . . . |  | . . . |
Возможно вы искали - Реферат: Матричные операции в вейвлетном базисе
Очевидно, что случайная величина 
также является дискретной и принимает значения 
, 
, ... , 
, ... с прежними вероятностями , , ... , , ... т.е. закон распределения имеет вид
 | | | . . . | | . . . |
| | | . . . | | . . . |
Тогда по определению математического ожидания 
.
3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину 
и докажем, что 
Действительно, если и заданы рядами распределения
 | | | . . . |
| | | . . . |
 |  |  | . . . |
|  |  | . . |
Похожий материал - Реферат: Матричный анализ
то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:
 |  |  |  |  | . . . |
|  |  |  |  | . . . |
Тогда 
.
Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для 
случайных величин, то оно выполняется и для 
случайных величин.
4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: 
.
Очень интересно - Реферат: Место аналогии в обучении математике в школе
Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).
В силу вышесказанного возможные значения случайной величины 
будут 
, 
, 
, 
, ... Их вероятности , 
, 
, ... , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность 
обозначает вероятность того, что события 
и 
наступают совместно, т.е. 
.
Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем
Предположим, что свойство 4) справедливо для 
случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.
Дисперсия случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается 
. Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.
Вам будет интересно - Доклад: Метод Гаусса
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения : 
.
Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле
 |
для дискретной случайной величины
для непрерывной случайной величины | (1) |
Справедлива следующая теорема.
Похожий материал - Реферат: Метод Зойтендейка
Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания : 
.
Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим
.
Тогда формула (1) примет вид
 |
для дискретной случайной величины |