Выполнил: студент гр. МХТ-02
Казаков Василий Васильевич
Проверила:
Абрамова Ирина Михайловна
Магнитогорск 2003
Содержание
1) Гармонические колебания
Возможно вы искали - Реферат: Минимизация функций алгебры логики
2) Затухающие колебания
3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды
4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды
Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
Похожий материал - Реферат: Минимизация функций нескольких переменных. Метод спуска
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна 
. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.
Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а lст —статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст +х, или l-lст =х.
Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр =-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
Очень интересно - Реферат: Многогранники
Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст . Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде:
или, обозначив с/ m через k 2 ,
(1)
Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет мнимые корни 
, соответственно этому общее решение
Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на 
, получим:
Вам будет интересно - Реферат: Множина комплексних чисел
Если положить
то
(2)
График гармонических колебаний имеет вид:
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.
Величину А называют амплитудойколебания, а аргумент 
— фазойколебания. Значение фазы при t=oт.e. величина 
, называется начальной фазойколебания. Величина 
есть частотаколебания. Периодколебания 
и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/ l ст = mg / l ст ,то для периода можно получить также формулу:
Похожий материал - Реферат: Методы Хука-Дживса
Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:
Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x = x 0 и скорость u = u 0 . Тогда 
, откуда
, 
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ( u 0 =0) амплитуда А=х0 ,а начальная фаза a = p /2 и, таким образом,
или 
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.
Решение