Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция (¦(x) = x3 – 4x – 2 и ¦(x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (–¥ ; ¥).
Возможно вы искали - Реферат: Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.
Способ хорд
Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1 ;x2 ] функция монотонная, а на его концах значения функции ¦(x1 ) и ¦(x2 ) разных знаков. Так как функция ¦(x) непрерывна на отрезке [x1 ;x2 ], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2 .
Похожий материал - Реферат: Прикладная математика
2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ¦(x), соответствующие абсциссам x1 и x2 . Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1 ;¦(x1 )) и B(x2 ; ¦(x2 )), в каноническом виде:
;
Учитывая, что y = 0 при x = a1 , выразим из данного уравнения a1 :
3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ¦(а1 ). Если на данном отрезке мы имеем ¦(x1 )<0, ¦(x2 )>0 и ¦(a1 )<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1 ;x2 ]. Если ¦(x1 )>0, ¦(x2 )<0 и ¦(a1 )>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1 ;a1 ]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2 , а3 и т.д.
Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0
¦(x) = x3 – 4x – 2,
Очень интересно - Реферат: Приложения производной
¦¢(x) = 3x2 – 4,
производная меняет знак в точках 
¦¢(x)
+ – +
¦(x) 
х
функция ¦(x) монотонно возрастает при xÎ(–¥;] и при хÎ[;¥), и монотонно убывает при xÎ[;].
Вам будет интересно - Реферат: Применение алгоритма RSA для шифрования потоков данных
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение ¦(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:
¦(–2)= –2,
¦(–1)= 1,
¦(0)= –2,
¦(1)= –5,
¦(2)= –2,
¦(3)= 13.
Таким образом, корни находятся в интервалах
(–2;–1), (–1;0), (2;3).
Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:
|