1 .Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.
2 . Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.
3 . Арифметические функции: t (n ), s (n ), j (n ).
4 . Алгоритм Евклида и его применения.
5 . Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.
Возможно вы искали - Реферат: Проективная геометрия
6 .Базис и размерность векторного пространства.
7 . Основные теоремы о системах линейных уравнений.
8 . Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.
9 .Разложение многочлена над полем в произведение
неприводимых множителей и его единственность.
Похожий материал - Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
10 . Теорема о строении простого алгебраического расширения.
1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы
10 . Определение группы.
Всюду в дальнейшем запись (G , *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.
Определение. Множество (G , *) называется группой , если выполнены следующие условия:
(1) операция “*” ассоциативна, т.е. ("x , y , z ÎG ) (x *y )*z = x *(y *z );
Очень интересно - Реферат: Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции*:
($e ÎG )("x ÎG ) x *e = e *x = x ;
(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:
("x ÎG ) ($y ÎG ) x *y = y *x = e .
20 . Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.
Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.
1. Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами).
Вам будет интересно - Реферат: Прямая Эйлера
а) Аддитивные группы целых чисел Z , рациональных чисел Q , действительных чисел R , комплексных чисел C .
б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q* , ненулевых действительных чисел R* , ненулевых комплексных чисел C* , положительных рациональных чисел Q+ , положительных действительных чисел R+ .
2. Группы подстановок S (X ) и Sn , действующих на множестве X , в частности, на множестве {1, 2, . . . , n }.
3. Группы движений геометрических фигур . Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O (Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O (Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O (Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.
Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.
 |
Похожий материал - Курсовая работа: Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса Башфорта
Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a , b , g относительно высот треугольника a - отражение относительно AO, b - BO, g - CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0, 
; их удобно обозначить e , r , s . Для описания умножения элементов группы (G , *) можно использовать так называемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).
Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:
| e | r | s | a | b | g |
| e | e | r | s | ||
| r | r | s | e | ||
| s | s | e | r | ||
| a | g | e | s | r | |
| b | r | e | |||
| g | e |
Заметим, что вращения перемножаются по правилу r 2 = s , r 3 = e . Далее, квадрат любого отражения равен e .
Легко проверить, чтоa b = s , b a = r . Кроме того, a r = g .