У любого тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр - правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра (рис. 2).
Перечислим теперь свойства тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности, включая определение:
(0) Грани равны.
(1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны (2) Трёхгранные углы равны.
(3) Противолежащие двугранные углы равны.
Возможно вы искали - Реферат: Развитие аналитической геометрии
(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.
(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.
(6) Развёртка тетраэдра - треугольник или параллелограмм
(7) Описанный параллелепипед - прямоугольный.
(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.
Похожий материал - Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости
(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
(10) Средние линии попарно перпендикулярны.
(11) Периметры граней равны.
(12) Площади граней равны.
(13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18
Очень интересно - Реферат: Разработка формальной системы
(14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести пртивоположных граней, равны.
(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.
(16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.
(17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.
(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.
Вам будет интересно - Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений
(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.
(20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0 (рис. 4).
(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.
Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего.
Проще всего устанавливается, что (0)<=>(1)<=>(2)<=>(3)<=>(4).
Похожий материал - Реферат: Расчет одноступенчатого редуктора
Докажем (0)<=>(1).
- (0)=>(1).
Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Рассмотрим треугольники АDВ и DАС: АD – общая, тогда АВ равна либо DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник – равнобедренный, а остальные – нет, т.е. противоречие)
- (0)<=(1).
По условию АВ=DС, ВС=АD, АС=ВD (рис.1), тогда треугольники АВD, СDВ, ВАС равны по третьему признаку равенства.
Докажем (1)<=>(2).
- (1)=>(2).