Реферат: Теорема Штольца

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) ;

b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

c) ;

Возможно вы искали - Реферат: Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятностей

d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Похожий материал - Реферат: Теория Матриц и Определителей

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y_n вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Очень интересно - Реферат: Теория вероятностей

Напишем теперь тождество:

откуда

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N^’ . Если при этом взять N^’ >N, то для n>N^’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с y_n и x_n , причем варианта x_n возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению