Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек 
и 
. Если задан закон 
, ставящий в соответствие каждому 
точку (или точки) 
, то говорят, что на множестве 
задана функция комплексной переменнойсо значениями в множестве 
. Обозначают это следующим образом: 
. (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции 
эквивалентно заданию двух действительных функций 
и тогда 
, где 
, 
. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. 
- линейная функция. Определена при всех 
. Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость 
. Функция 
и обратная ей 
- однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный 
, растягивает (сжимает ) ее в 
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину 
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. 
. Определена на всей комплексной плоскости, причем 
, 
. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки 
. Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. 
- показательная функция. По определению 
, т.е. 
, 
, 
. Из определения вытекают формулы Эйлера:
Возможно вы искали - Реферат: Элементы теории устойчивости
; 
; 
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
периодична с периодом 
. Отображает каждую полосу, параллельную оси 
, шириной 
в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: 
, 
4. 
- логарифмическая функция (натуральный логарифм ). По определению: 
. 
Выражение 
называется главным значением 
, так что 
. Определен для всех комплексных чисел, кроме 
. 
- бесконечно-значная функция, обратная к . 
, 
5. 
- общая показательная функция. По определению, 
. Определена для всех , ее главное значение 
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции 
;
;
;
По определению, 
; 
;
Похожий материал - Курсовая работа: Основы линейной алгебры на примере балансовой модели
; 
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
, 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
Очень интересно - Реферат: Серьёзные лекции по высшей экономической математике
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: 
, 
, 
, 
,
Решение. По определению, 
,
, 
; если 
, то очевидно, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Вам будет интересно - Реферат: Спонтанное нарушение симметрии
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение. Пусть: 
, а
. Умножим вторую строчку на 
, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
Похожий материал - Реферат: Лекции по системе AutoCAD 2000
; Преобразуя, получим:
, 
3. Доказать , что: 1) 
2)
3)
4)