Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде
A = 
(4.1)
или сокращенно в виде A = (aij ) (i = 
; j = 
). Числа aij , составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если aij = bij .
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m x n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:
Возможно вы искали - Доклад: Системы линейных уравнений
.
Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:
E = 
.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
Похожий материал - Реферат: Линии на плоскости
AT = 
,
которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число λ: λA = ( λaij ).
Суммой двух матриц А = (aij ) и B = (bij ) одного размера называется матрица C = (cij ) того же размера, элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij .
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Очень интересно - Реферат: Математическое и компьютерное моделирование продуктивности растений в зависимости от динамики влажности почвы
Произведением двух матриц А = (aij ) и B = (bjk ), где i = , j= , k= 
, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik ), элементы которой определяются по следующему правилу:
cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ... + aim bmk = ais bsk . (4.2)
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
2. Определители
Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Вам будет интересно - Реферат: Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ 
обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1→2, 2→1, 4→3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде 
,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
Похожий материал - Реферат: Подводные камни математики
где индексы q1 , q2 ,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q , где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ A = 
или det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей