Теплоемкость твердых тел (классическая модель)
В рамках данной книги наибольший интерес представляет обычно область температур выше дебаевских. Поэтому здесь мы не дадим подробного квантово-механического анализа теплоемкости твёрдых тел. Однако можно провести более детальное обсуждение теплоёмкости с классической точки зрения. Это поможет читателю получишь более глубокие представления о колебаниях самих атомов.
Первый шаг состоит в определении теплоемкости осциллятора. Предположим что общую теплоемкость всего твердого тела, состоящего из N атомов можно поровну разделить между 3N осцилляторами (каждый атом принимается за три осциллятора, так как атом может перемещаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях). Тогда задача сводится к тому, что бы объяснить , почему теплоемкость одного осциллятора- будет равна 3R / 3N (R 2 кал/моль - К.). Чтобы решить эту задачу, мы сначала рассмотрим теплоемкость идеального газа, поскольку; температурная шкала установлена именно для идеального газа. Если мы сможем установить связь между энергией атомов 0идеального, газа и его температурой, мы тем самым сумеем выявить процессы, которые приводят к поглощению энергии твердым телом при повышении его температуры. Напишем уравнение , состояния идеального газа, занимающего объём V при давлении Р и температуре Т :
PV = RT. (1)
Чтобы рассчитать теплоемкость, надо выразить давление газа в замкнутом объеме через его внутреннюю энергию. Определим давление, которое оказывает на стенки сосуда. Пусть сосуд имеет форму куба и площадь каждой стенки равна 1м .Тогда сила F действующая на стенку равна Р. Предположим, что в этом объёме находится N атомов газа. Будем также считать, что их движение беспорядочно т. е. параллельно каждой координатной оси перемещается N / 3 атомов. Пусть скорость всех атомов одинакова и равна V . Тогда все атомы обладают одинаковым количеством движения р. При каждым ударе атома о стенку ей передается импульс 2р. По закону Ньютона сила равна dр / dt . Поэтому для всех N атомов можно написать
Возможно вы искали - Реферат: Теория электромагнитных полей
(2)
где т— масса атома.
Это выражение можно Преобразовать так, что бы в него вошла энергия. Кинетическая энергия Е каждого атома равна 1 /2 mv
(3)
Поэтому уравненение можно написать в виде
(4)
Подставив значение Р в уравнение , окончательно получим
(5)
Похожий материал - Реферат: Теориям самоорганизации - синергетика, теория изменений и теория катастроф
Если N —число Авогадро ,то молярная теплоемкость С равна
или
Для идеального газа теплоемкость не зависит от температуры, а ее значение (3 кал/моль -°К) хорошо согласуется с измерениями для одноатомных газов. Тепловая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы атома относительно пространственных координат, равна кТ 1 2.
Теперь задача заключается в выводе для твердого тела уравнения, аналогичного выражению (6). Очевидно, что для твердого тела такой вывод нельзя дублировать, так как атомы твердого тела не ударяются о стенку сосуда, и давление равно нулю. Может показаться, что уравнение (6) вообще неприменимо для любых твердых тел. Однако значение этого уравнения очень велико и не ограничивается тем особым случаем, для которого оно было выведено. На каждое нормальное колебание системы приходится тепловая энергия кТ / 2 (в предельном случае высоких температур).
Нетрудно определить, как происходит изменение энергии гармонического осциллятора. Колеблющийся атом обладает и кинетической, и потенциальной энергиями. Обе эти составляющие не постоянны; только их сумма, общая энергия Е , является константой.. В течение периода кинетическая энергия изменяется от нуля до Е . Среднее значение кинетической энергии в действительности равно точно Е / 2 , такое же среднее значение имеет и потенциальная энергия. Вспомним, что для газа в замкнутом объеме тепловая энергия атома, отнесенная к каждой координате его перемещения, составляет ровно кТ / 2. Вспомним также, что для газа вся тепловая энергия есть энергия кинетическая, а потенциальной энергией газ не обладает. Предположим, что для осциллятора средняя кинетическая энергия Е / 2 (имеет величину ) кТ / 2. Тогда общая тепловая энергия каждого осциллятора равна кТ , а суммарная тепловая энергия всего твердого тела, состоящего из атомов, будет составлять
Очень интересно - Реферат: Тепловидение
Е = 3 Nk Т. (7)
Из этого выражения следует, что молярная теплоемкость твердых тел равна
С =3 N k кал/моль- °К = З R кал/моль-К. (8)
Для температур выше дебаевских это уравнение дает классическое значение 6 кал/моль К. Отметим, что это ровно вдвое больше значения теплоемкости ЗR / 2 для идеального
газа, поскольку осциллятор может накапливать тепло и в виде потенциальной энергии. К уравнению (7) можно прийти и другим путем, который рассматривался ранее. Этот вывод основан на том, что каждый способ поглощения анергии допускает накапливание ее в количестве kТ / 2 на каждую степень свободы. Тепловая энергия линейного осциллятора складывается из двух слагаемых: величины kT / 2 , приходящейся на долю кинетической энергии, и величины kТ / 2 — вклада потенциальной энергии. Следовательно, тепловая энергия твердого тела, рассматриваемого как совокупность 3 N осцилляторов, опять равна 3 NkТ.
Вам будет интересно - Реферат: Тепловые двигатели
Необходимо подчеркнуть, что аргументы, приводящие к выводу уравнения (8), в принципе корректны, но использованные количественные соотношения далеко не всегда точно отражают реальное положение дел.
Зная, что тепловая энергия осциллятора имеет порядок kТ (по доказанному выше), можно вычислить амплитуду колебаний атома. При максимальном смещении энергия осциллятора становится целиком потенциальной. Поскольку эта энергия равна /2 ,
Для атома, у которого коэффициент упругости «пружины» а 25 н 1 м . при комнатной температуре имеет порядок 0,2 А. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными измерениями атомных смещений рентгеновскими методами.
Для обычных металлов при обычных температурах это отношение составляет примерно 1/100. Отсюда ясно, почему теплоемкость металла довольно точно описывается решеточной составляющей и почему закон Дюлонга и Нти справедлив при высоких температурах.
Отметим также, что теплоемкость С линейна по Т . При очень низких температурах этот линейный член, который обычно записывают в виде
Похожий материал - Реферат: Тепловые процессы (из конспекта лекций 2000г.)
С = Т
можно отделить от решеточного члена, который стремится к нулю быстрее — как Т . Измерение дает непосредственную информацию о величине — плотности состоянии на уровне Ферми. Например, для переходных металлов наблюдаются высокие значения у в соответствии со сказанным в настоящие главы.
Происхождение линейного хода теплоемкости при низких температурах можно понять следующим образом. Рассмотрим распределение Ферми. Влияние температуры сводится к возбуждению небольшого числа электронов на более высокие уровни. Но этот аффект может быть заметным только в области энергии порядка Т вблизи . Мы можем сказать, что каждый