Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К., L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?
Рис. 1. Рис. 2.
Читателю, конечно, известно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F1 и F2 той же плоскости, т. е. так, что MF1 = MF2 ; описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F1 будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F2 (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F1 и F2 плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:
Возможно вы искали - Реферат: Моделирование экономических систем
Рис. 3.
MF1 = kMF2 ,
то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы).
Рис. 4.
Похожий материал - Реферат: Математические модели и методы их расчета
Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F1 и F2 остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 4), то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.
Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F1 и F2 остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.
Рис. 5.
Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.
Очень интересно - Курсовая работа: Предмет и задачи статистики
Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого (рис. 5.).
Циклоида
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.
Рис. 6.
Вам будет интересно - Реферат: Интерпретация фотоэффекта
Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.
.Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота ^так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1 , M2 , М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным
Похожий материал - Реферат: Статистическое наблюдение
Рис. 7.
1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки
М0 , M1 , М2 , М3 , M4 , M5 , M6
плавной кривой (на глаз).
Кривая кратчайшего спуска