Одной из классических моделей динамики популяций является логистическая модель или модель Ферхюльста-Пирла, которая описывается дифференциальным уравнением
с начальным условием 
, где параметры 
характеризуют интенсивности рождения и гибели особей популяции. Решение уравнения (1), как известно, имеет вид
а график x(t) представляет собой так называемую логистическую кривую. Модель (1) и ее различные модификации подробно изучены в ряде работ, см.,например, [1, с. 14], [2, с. 11].
Возможно вы искали - Доклад: Звёзды
В настоящей работе рассматривается один из вариантов модели (1), в котором учитывается ограниченность времени жизни особей популяции. Будем предполагать, что особи популяции, родившиеся в момент времени t, в течение некоторого периода 
могут производить новых особей популяции (с интенсивностью 
), либо могут погибать (с интенсивностью 
). Особи, дожившие до момента времени 
, погибают, не оставляя потомства. Параметр 
означает предельное время жизни особей популяции. Начальное распределение особей по возрасту будем задавать неотрицательной, непрерывной функцией 
. При сделанных предположениях численность x(t) популяции описывается интегро-дифференциальным уравнением [3]
с начальным условием
Похожий материал - Статья: Градиентный алгоритм для систем независимости с отрицательными весами
Ниже исследуются свойства решений уравнения (2) с начальным условием (3).
2. Основные результаты
В уравнении (2) при 
под 
понимается правосторонняя производная. Сделаем замену 
. Тогда x(t) удовлетворяет соотношению
в котором y(t) является решением следующего линейного дифференциального уравнения с запаздыванием:
Очень интересно - Доклад: Созвездие Близнецы
При 
под 
понимается правосторонняя производная. Уравнение (5) может быть проинтегрировано по отрезкам вида 
,n = 0,1,2,...,. Отсюда следует, что уравнение (5) имеет единственное решение y(t), определенное на 
. Нетрудно заметить, что y(t) является неотрицательной функцией, причем, если x(0)>0, то y(t)>0, если же x(0)=0, то y(t)=0 при всех 
. Применяя к уравнению (4) принцип сжимающих отображений [4, с. 11], получаем, что уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное неотрицательное решение x(t), определенное на . Из (4) следует, что x(t)>0, если x(0)>0 и x(t)=0, если x(0)=0, . Исследуем далее зависимость свойств решений x(t) от параметров модели (ниже везде принято, что x(0)>0).
Примем, что параметры таковы: 
, 
, где 
- единственный положительный корень уравнения 
. Тогда функция 
является решением уравнения (5). Из неравенства 
следует, что 
при 
. Пусть теперь 
и 
, где 
- единственный положительный корень уравнения 
. Функция 
является решением уравнения (5). Подставляя y2(t) в (4) и дифференцируя обе части, получаем, что x(t) удовлетворяет уравнению
Вам будет интересно - Доклад: Рефракция
которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (1). Имеем, что x(t) - монотонная функция и 
при , где 
, причем x* - единственный положительный корень уравнения 
. Если 
и 
, то уравнение (5) имеет решение 
. Тогда x(t) удовлетворяет уравнению 
, откуда следует, что 
при . Заметим, что во всех этих случаях решение x(t) модели (2) может быть записано в явном виде.
Для дальнейшего исследования используем результаты работы [5], в которой изучены асимптотические свойства решений дифференциального уравнения 
. Применяя эти результаты к уравнению (5), будем иметь: 1) если 
, то 
при , 2) если 
, то при функция y(t) эквивалентна экcпоненте 
, где 
- некоторые константы. Указанные свойства y(t) не зависят от вида функции 
. Отсюда непосредственно вытекает, что для и y*=0 существует 
. Для остальных случаев используем следующее соотношение.
Зафиксируем h>0. Из уравнения (4) имеем, что при всех 
верно
Похожий материал - Доклад: Созвездие Малый Пес
Примем, что и y*>0. Соотношение (7) может быть записано в виде 
, где 
. Учитывая положительность x(t), из последнего равенства получаем, что при достаточно больших t для любого h>0 верно неравенство x(t+h)/x(t) < 1 и, следовательно, существует 
.
Пусть теперь . Тогда из (7) получим, что 
, где 
. Последнее равенство можем переписать в виде
Из (8) видно, что поведение x(t) на некотором конечном полуинтервале [0,T), T>0 может носить как монотонный, так и колебательный характер. Действительно, пусть 
достаточно мало, 
. Если 
при всех 
, то имеем, что 
и x(t) - возрастающая ( убывающая ) функция, . Если учитывать влияние слагаемого , то, очевидно, возможны случаи, когда x(t) пересекает уровень x = x* при некоторых 
. Покажем далее, что существует 
. Пусть t достаточно велико и x(t) < x*. Может оказаться, что при всех h>0 верно 
. Тогда x(t+h)/x(t) > 1 и, следовательно, указанный предел существует. Предположим теперь противное. Обозначим через t+h1 момент первого пересечения функцией x(t) уровня x = x*, иначе, 
, где h2 - некоторое число. Из (8) получаем, что x(t+h2)/x(t+h1) =