Ну, начнём! Когда мы доберёмся до конца этой истории, будем знать больше, чем теперь.
Г. X. Андерсен
В необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место. Однако это первое впечатление обманчиво.
Многочлены, действительно, предельно просты: алгебраическая запись
| f (x) = xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an | (1) |
является одновременно и формулой для вычисления значений многочлена 1. Хотя выражения типа cos x, 5√ x , 10x, log 2 x намного лаконичнее, с вычислительной точки зрения они бессодержательны: для вычисления, скажем чисел cos 17°, 5√ 2 , 100,13 или log 2 7 нужны специальные приближённые формулы (или таблицы, составленные с помощью тех же формул). Как правило, в таких формулах появляются многочлены: например,
| cos x 1 – |
Возможно вы искали - Реферат: Обратная скорость света x2 2! | + |
x4 4! | – |
x6 Похожий материал - Доклад: Кто открыл множество Мандельброта? 6! | + |
x8 8! |
(ошибка в интервале 0≤x≤π/4 меньше одной десятимиллионной!).
А ведь тригонометрические, степенные и т.п. (элементарные) функции — это самые простые из функций анализа, изучаемых и используемых математиками, физиками, инженерами. Известный математик-вычислитель Р. В. Хемминг в своей книге «Численные методы» (М., «Наука», 1972) пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами».
Очень интересно - Доклад: Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам
Так как вычислять многочлены приходится часто, то важно научиться делать это как можно проще. Мы расскажем об эволюции методов вычисления значений многочленов с момента зарождения (XVII век). Впрочем, слово «эволюция» здесь не вполне уместно: история этих методов — скорее очень длинный роман с интересной, но краткой завязкой, однообразным действием и неожиданной развязкой.
§2. Схема Горнера
|
По правде говоря, здесь возникает сомнение, или вернее вопрос, которого миновать нельзя, не поставив его и на него не ответив. А. Данте. Пир (1303 г.) |
Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы (1) вынесением за скобки x всюду, где это возможно:
| f (x) = (...(((x + a1)·x + a2)·x + a3)...)·x + an. | (2) |
Порядок действии при вычислении f (x) определяется скобками в (2): сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через p1), затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат p2) и т.д.:
|
Вам будет интересно - Реферат: Случайность в арифметике p1 = x + a1; p2 = p1x + a2; Похожий материал - Реферат: Опыты Эйхенвальда и Вильсона p3 = p2x + a3; · · · · · · · · · · · · · · · · · · |