При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.
 |
1. Формула трапеций.
Пусть требуется вычислить интеграл 
, где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0 <x1 <x2 <...<xk-1 <xk <...<xn =b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.
Где f(xk-1 ) и f(xk ) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.
Таким образом, получена приближенная формула
 |
которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.
Возможно вы искали - Реферат: Правила по отношению к аргументам и ошибки, с ними связанные
Рассмотрим в качестве примера интеграл 
. Точное значение этого интеграла находится просто:
Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x0 =0, x1 =0,2, x2 =0,4, x3 =0,6, x4 =0,8, x5 =1=b и соответственно f(x0 )=0, f(x1 )=0,04, f(x2 )=0,16, f(x3 )=0,36, f(x4 )=0,64, f(x5 )=1. Следовательно,
Точное значение интеграла равно 0,3333...., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.
Похожий материал - Реферат: Нелинейное программирование
Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10
т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.
В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем
Очень интересно - Реферат: Построение математических моделей при решении задач оптимизации
где k -наибольшее значение 
на отрезке [a, b].
Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.
Вычислим по формуле трапеции интеграл 
при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х0 =0, х1 =0,1, ..., х9 =0,9, х10 =1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=
в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.
 |
По формуле трапеций получаем
Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то 
На отрезке [0, 1] имеем 
. Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины
Вам будет интересно - Курсовая работа: Основы теории систем и системный анализ
Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.
Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.
2. Формула парабол.
Похожий материал - Реферат: Экстремумы функций многих переменных
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1 ; у1 ), М2 (х2 ; у2 ), М3 (х3 ; у3 ) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида
у=Ах2 +Вх+С (1)
Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С: