Пусть ¦(x ) , g (x ) , x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку
f * g(x) =
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
Возможно вы искали - Реферат: Теория колец
где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = 
-i n t dt , n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) = 
n ( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p, p ] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны
Похожий материал - Шпаргалка: Комплексный анализ
cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :
¦r ( x ) = 
, ( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] . ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Очень интересно - Статья: Закон Ома электропроводности металлов как фундаментальное следствие нетеплового действия электрического тока
Следовательно,
Pr ( t ) = 
, 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )
Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `cn ( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
Вам будет интересно - Доклад: Математика 16 века: люди и открытия
fr ( x ) = 
=
, ( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 
( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
Похожий материал - Реферат: Формулы тригонометрии
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = 
. ( 8 )
Утверждение1.