Реферат: Теория устойчивости

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

Возможно вы искали - Реферат: Двойной интеграл в полярных координатах

(1)

с начальными условиями x ( t₀ ) = x₀ (2)

где x = ( x₁ , x₂ , ... , x_n ) - n - мерный вектор; t Î I = [t₀ , + ¥ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , ... , f_n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t₀ ) = x₀ . С целью упрощения все рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Очень интересно - Реферат: Некоторые характеристики и свойства микрообъектов

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t₀ , x₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t₀ , x₀ ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t₀ , x₀ ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t₀ , x₀ ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t₀ , x₀ ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) , вызванное отклонением D x₀ начального значения x₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | = | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ; t₀ , x₀ ) |.

Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x₀ на интервале I = = [ t₀ , + ¥ [ , т.е. "e > 0 $d > 0 такое, что "D x₀

| D x₀ | £dÞ | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | £e" t ³ t₀ .

Вам будет интересно - Курсовая работа: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + ¥ для достаточно малых D x₀ , т.е. $D > 0 "D x₀ .

| D x₀ | £DÞ | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + ¥ . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) , близкие в начальный момент t₀ к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ³ t₀ .

Похожий материал - Реферат: Теория случайных процессов x 0 t Рис.2