Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.
Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел 
суммой двух квадратов.
Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.
В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.
Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм
Возможно вы искали - Реферат: Солнечная система
Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.
Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:
(1)
где 
—вещественные числа.
Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле 
— являются первым, вторым и третьим коэффициентами .
Похожий материал - Реферат: Законы движения планет
Для наглядности эту формулу будем обозначать через 
, получим:
В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом 
целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).
В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя 
, т. е.:
Очень интересно - Курсовая работа: Влияние длины полого катода на спектр излучения газового разряда в гелии.
Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты 
являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.
В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.
Если существует линейная подстановка переменных 
(2) с целыми коэффициентами 
и определителем 
, переводящая форму 
в форму 
, такая, что выполняется равенство
, (3),
тогда бинарные целочисленные квадратичные формы 
и 
называются собственно эквивалентными.
Вам будет интересно - Статья: Свойства силиката магния с примесью хрома в пористом кремнии
Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем 
переводит форму 
в форму 
, бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.
Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: 
~ 
Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм и 
.
(4)
Похожий материал - Реферат: Просветление тумана в электрическом поле
Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число 
бинарной квадратичной формы 
Предположим, что 
собственно или несобственно эквивалентна форме 
. Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа 
с определителем 
, при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:
Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.