Тема 1. Предел функции
Число А называется пределом функции 
при 
, стремящимся к 
, если для любого положительного числа 
(>0) найдется такое положительное число 
>0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию x
x<, выполняется неравенство x
А x<.
Для предела функции вводится обозначение 
=А.
Пределы функций обладают следующими основными свойствами:
Функция не может иметь более одного предела.
Возможно вы искали - Реферат: История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем
Если = С (постоянная), то 
С.
Если существует 
А, то для любого числа 
верно:
Если существуют 
А и 
В, то 
= 
АВ, 
а если В
0, то
.
Похожий материал - Реферат: История геометрии
Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула 
Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента 
: 
Функция 
(
называется бесконечно малой величиной при 
, если ее предел равен нулю: 
Функция называется бесконечно большой величиной при , если 
Пример 1. 
9.
Пример 2. 
.
Очень интересно - Реферат: История математики
В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение 
) или бесконечно больших (
).Кроме названных встречаются неопределенности вида 
Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:
- первый замечательный предел 
-второй замечательный предел 
(число Эйлера).
Пример 3. 
.
Вам будет интересно - Реферат: История чисел и счисления
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :
.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени 
и найдем его решение:
Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители
Похожий материал - Контрольная работа: Исчисления предикатов и их применение в логическом умозаключении
.
Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.
Уравнение 
имеет решения
