Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют. С рисунком.

Решение дано во вложении.

Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной. По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:[latex]AB+CD=AD+BC[/latex]Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:[latex]AB=CD= frac{4+16}{2} =10[/latex]Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем: [latex]HK=4[/latex]; [latex]AH=KD= frac{16-4}{2} =6[/latex]Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:[latex]BH= sqrt{AB^2-AH^2} \ BH= sqrt{10^2-6^2} =8[/latex]Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:[latex]r= frac{BH}{2} = frac{8}{2} =4[/latex]Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:[latex]AC= sqrt{AK^2+CK^2} = sqrt{(AH+HK)^2+CK^2} \ AC= sqrt{(6+4)^2+8^2} = sqrt{164} =2 sqrt{41} [/latex]Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:[latex]2R= frac{CD}{sin CAD} [/latex]Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:[latex]sin CAD=sin CAD= frac{CK}{AC}[/latex]Выражаем R и подставляем выражение для синуса:[latex]R= frac{CD}{2sin CAD} =frac{CDcdot AC}{2 CK} \ R= frac{CD}{2sin CAD} =frac{10cdot 2 sqrt{41} }{2 cdot 8} =frac{5 sqrt{41} }{4} [/latex]Ответ: радиус вписанной окружности [latex]4[/latex]; радиус описанной окружности [latex]frac{5 sqrt{41} }{4}[/latex]