. Из 140 учащихся шестых классов на школьных соревнованиях в метании мяча участвовало 50 человек, прыгали в длину 65 человек, бежали кросс 48. Во всех трех видах участвовал 31 человек, метали мяч и прыгали в длину 38 человек, прыгали в длину и бежали кросс 42 человека, метали мяч и участвовали в забеге 32 человека. Сколько человек не участвовало в соревнованиях? Сколько человек участвовало только в одном виде соревнований? Сколько человек участвовало не менее чем в двух видах соревнований?

Эта задача решается при помощи кругов Эйлера (смотри рисунок)- рисуем три пересекающихся круга по одному для каждого вида спорта. Те места, которые находят друг на друга - это учащиеся, которые приняли участие в нескольких видах спорта, а непересекающиеся участки - только в одном виде спорта.внешний большой круг это всего учащихся 6-х классов, при чем та часть, которая не занята маленькими кругами, соответственно, не принимала участия в соревнованиях.Обозначим все участки получившейся схемы буквами, как на рисунке и дальше решаем обычным арифметическим способом:е=31 b+e=38    =>   b=38-31=7f+e=42     =>   f=42-31=11d+e=32    =>   d=32-31=1a+b+d+e=50    =>   a=50-(7+1+31)=11b+c+e+f=65     =>   c=65-(7+31+11)=16d+e+f+g=48     =>   g=48-(1+31+11)=5h+(a+b+c+d+e+f+g)=140   =>   h=140-(11+7+16+1+31+11+5)=58Теперь, когда есть все данные, можем отвечать на вопросы задачи:1) Сколько человек не участвовало в соревнованиях? Это соответствует h. Ответ: 58 человек не участвовало в соревнованиях2) Сколько человек участвовало только в одном виде соревнований? Это a+c+g=11+16+5=32Ответ: 32 человека участвовало только в одном виде соревнований.3) Сколько человек участвовало не менее чем в двух видах соревнований?Это все кто участвовал в соревнованиях (140-h) минус те, кто участвовал только в одном виде соревнований (32): 140-h-32=140-58-32=50Ответ: 50 человек участвовало не менее чем в двух видах соревнований.