.                  14. РH  –  высота  правильной  четырехугольной  пирамиды    РАВСD,  О  –  точка  пересечения медиан треугольника ВСР.   А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.  Б) Найдите угол между прямыми  РН и  АО, если известно, что  АВ=РН.   

Примем длину рёбер основания и высоту пирамиды равными 1.А) Необходимым и достаточным условием скрещивающихся прямых является неравенство:[latex] left[egin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\m_1&n_1&p_1\m_2&n_2&p_2end{array}ight] eq 0.[/latex]Найдём координаты необходимых точек.Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром АВ по оси ОХ, ребром ВС по оси ОУ.Точка О находится на апофеме грани ВРС, её проекция - на перпендикуляре из точки Н на ребро ВС. на расстоянии (1/2)*(1/3) от ВС.А(1;0;0), О((1/6);0,5;(1/3)), вектор АО((-5/6);0,5;(1/3)).Р(0,5;0,5;1), Н(0,5;0,5;0),    вектор РН(0;0;-1).За точку 1 примем точку А, за точку 2 - точку Р.Составляем матрицу:[latex] left[egin{array}{ccc}-0,5&0,5&1\-5/6&0,5&1/3\0&0&-1end{array}ight] =-1/6.[/latex]Так как  определитель  матрицы не равен нулю, то прямые не пересекаются, они скрещивающиеся.В) Находим угол между прямыми  РН и  АО.[latex]cos alpha = frac{ frac{-5}{6}*0+0.5*0+ frac{1}{3}*(-1) }{ sqrt{( frac{-5}{6})^2+0.5^2+( frac{1}{3})^2 }* sqrt{0+0+1} } = frac{|-0,33333|}{1,0274} =0,3244.[/latex]Такому косинусу соответствует угол 1,2404 радиан или 71,0682°.